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设X是完备距离空间 {Fn}(n=1 2 …)为X中的一列闭集 满足 并且每一个 。d(Fn)表示一的直径 即 则。举例说

设X是完备距离空间,{Fn}(n=1,2,…)为X中的一列闭集,满足

  

  并且每一个。d(Fn)表示一的直径,即

  

  则。举例说明条件不能去掉。

发布时间:2020-08-02
参考答案

正确不妨设,则可取xn∈Fn-Fn+1(n=1,2,…),得X中一点列{xn),因为当n>m时,此时
ρ(xn,xm)≤d(Fm),
根据条件d(Fm)→0,知{xn}是X中得基本列。由完备性,设

下面证明事实上对任一自然数m,当n>m时,xn∈Fm,Fm为闭集,故X∈Fm,从而
取X={1,2,…},在上面定义距离
ρ(m,n)=|m-n|(m,n∈X),
则X完备。再令Fn={n,n+1,…),则Fn是闭集,且满足包含关系,但是不满足条件易证

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