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证明:如果F1 F2是距离空间X中的紧集 则存在 x0∈F1 y0∈F2 使 ρ(F1 F2)=ρ(x0 Y0) 其中。并证明:若ρ(F1 F2

证明:如果F1,F2是距离空间X中的紧集,则存在

  x0∈F1,y0∈F2

  使

  ρ(F1,F2)=ρ(x0,Y0),

  其中。并证明:若ρ(F1,F2)=0,则

发布时间:2020-08-02
参考答案

正确由inf定义,必存在xn∈F1,yn∈F2,使

因为F1,F2为X中的紧集,必存在子序列{nk}使
xnk→x0∈F1,y(nk)→y0∈F2,
再由ρ(x,y)的连续性,即得
ρ(F1,F2)=ρ(x0,Y0)。
若ρ(F1,F2)=0,即存在X0∈F1,y0∈F2,有ρ(x0,y0)=0,即x0=y0,则
x0∈F1∩F2

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